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Limites

23-07-2013 13:24

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Índice

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Limite de uma sequência[editar]

Ver artigo principal: Limite de uma sequência

Seja $x_1, x_2, \ldots$ uma sequência de números reais. A expressão:

$\lim x_i = L$

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência. Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por exemplo, pelo intervalo aberto $(L - \epsilon, L + \epsilon) \mbox{ , em que } \epsilon > 0$ , o desafiado deve exibir um número natural N tal que $\forall i (i > N \rightarrow x_i \in (L - \epsilon, L + \epsilon))$ .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

$\forall \epsilon (\epsilon > 0 \rightarrow \exists N (\forall i (i > N \rightarrow |x_i - L| < \epsilon)))$

Limite de uma função[editar]

Ver artigo principal: Limite de uma função

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando $f(c) \neq L$ , ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$ . Sempre que se verifique a igualdade $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$ , diz-se que fé contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.$

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:1

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ não está definido $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de $f(x)$ é 2.2

Definição formal[editar]

A definição ε-δ de limite.

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja $f$ uma função definida num intervalo aberto $I$ contendo $a$ (excepto possivelmente $a$ ) e seja $L$ um número real. A expressão

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

significa que qualquer que seja $\varepsilon\ >0$ existe um $\delta\ >0$ tal que para todo $x \in I$ , satisfazendo $0<|x-a|< \delta$ , vale $| f (x)-L|< \varepsilon$ . OU, usando a notação simbólica:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in I\;\wedge 0 < | x - a | < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L | < \epsilon$

Dito de maneira mais formal, um limite L é dado da seguinte maneira, segundo a ideia originalmente formulada por Cauchy:

um limite L dado pela fórmula:

$\lim_{x \to a}f(x) = L$

onde L é o valor do qual difere o valor de $f$ a menos de um valor ε (epsilon) maior que zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que zero e função de ε (δ = f(ε))

$\delta = g(\epsilon) > 0 \Rightarrow 0 <|x-a|<\delta \to |f(x)- L| < \epsilon$

Aproximação intuitiva[editar]

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamentemuito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: $f(x)=2x+1$ e imaginando $f:R->R$ (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: $f(0)=2.0+1$ que nos dá: $f(0)=0+1 = 1$ , ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96
Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996
Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996
Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: $f(x)=2x+1$ nos Reais, calcular o limite da função $f$ quando $x -> 1$ . Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função $f(x)$ descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis[editar]

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por $| x - a |$ , não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte3 :

Seja $f$ uma função do tipo:

$D \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ $x \longmapsto f(x) = z$

Em que $x$ é um vector com $n$ coordenadas e $z$ um número real. Se $a$ for um vector com $n$ coordenadas, então:

$\lim_{x \to a} f(x) = L \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( x \in D\;\wedge 0 < d(x,a) < \delta \right ) \Longrightarrow | f(x) - L| < \epsilon$

Em que $d(x,a) = \| x - a \|$ é a função distância.

Exemplo[editar]

Uma função do tipo:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $(x,y) \longmapsto f(x,y) = z$

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $(x,y) \longmapsto f(x,y) = xy$

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)) = L$

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

o limite através do eixo dos $yy$ , ou seja,

$\lim_{x \to 0}f(x,0) = L$

Nesse caso o limite L é zero.

o limite através do eixo dos $xx$ , ou seja,

$\lim_{y \to 0}f(0,y) = L$

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

$\lim_{(x,y) \to (0, 0)} xy = 0$

Ou seja, provar que

$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \| (x,y) - (0,0) \| < \delta \right ) \Longrightarrow | xy - 0| < \epsilon$ $\Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \left ( (x,y) \in \mathbb{R}^2\;\wedge 0 < \sqrt{x^2 + y^2} < \delta \right ) \Longrightarrow | xy | < \epsilon$

Vamos procurar escrever $\delta$ em função de $\epsilon$ .

$\sqrt{x^2 + y^2} < \delta \Leftrightarrow x^2 + y^2 < \delta^2$ (I)

$|xy| \leq \max\{|x|,|y|\}^2 \leq x^2 + y^2 < \delta^2$ (II), usando (I)

Se escolhermos $\delta = \sqrt{\epsilon}$ , então, por (II), $|xy| < \delta^2 = \epsilon$ , o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

$\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ $(x,y) \longmapsto f(x,y) = {xy \over (x^2+y^2)}$

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

$x = \left(\cos \alpha\right)t$

$y = \left(\sin \alpha\right)t$

a função toma a forma

$f(x,y) = {\cos(\alpha)\sin(\alpha) \over (\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2} = {\sin(2\alpha) \over 2}$

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

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